Nach einem Blick in den Gruppen-internen Berechtigungen unter "Berechtigung für die untergeordneten Gruppen" konnte ich den Grund sehen und beheben.

Somit hat es sich erledigt.

@rschi Ich habe noch eine Ergänzung zu deinem Wunsch:
Cool wäre es, wenn die Änderungen auch gleich beim jeweils anderen (ohne erst aktualisieren zu müssen) angezeigt werden würden (so wie auch schon anderen Modulen (z.b. ChurchDB bei Gruppenteilnehmern) der Fall ist).
Dann könnte man auch über Telefon gemeinsam am Gottesdienstablauf arbeiten.

Zusammen mit dem Support bin ich nun auf die Ursache gestossen.

Bei den gruppeninternen Berechtigungen des Diensttyps war eingestellt, dass Leiter, Co-Leiter und Mitarbeiter die Ablaufpläne editieren können.

@d010101 Ich finde es interessant, wie unterschiedlich die Gemeinden an die Sache herangehen. Bei uns ist es bewusst so gewollt, dass nicht nur die Gruppenmitglieder sichtbar sind, sondern die Daten aller Mitglieder. Früher gab es dafür ein aufwendiges Mitgliederverzeichnis in Papierform, heute die ChurchTools. 😉
Dementsprechend hat jedes Mitglied auch den Zugriff auf ChurchDB.
Wenn das bei euch nicht so ist, dann wäre dein Vorschlag bzgl. der Änderung über das Benutzermenü sicherlich als Feature-Wunsch sinnvoll, wobei ich mir das ohne Zugriff auf ChurchDB etwas schwierig vorstelle. Aber formuliere es doch einfach mal dort: http://forum.churchtools.de/category/17/feature-wünsche

(Komisch ... hier funktioniert gerade die Link-Funktion nicht, denn sonst hätte ich es auf das Wort "dort" verlinkt.)