Auch in diesem Fall ist der Browser wieder unser Freund und kann uns helfen zu verstehen wie man Cookies sendet.
Einfach mal die Entwicklerkonsole im ChurchTools Frontend öffnen und die Header eines Requests anschauen.
Schlussendlich muss das Cookie als Header geschickt werden. Hier die Dokumentation von Mozilla dazu: https://developer.mozilla.org/de/docs/Web/HTTP/Headers/Cookie
curl_setopt($ch, CURLOPT_HTTPHEADER, array("Cookie: ct_testdavid=bizlub34qv5b03457nqvb3547"));